Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 0 & \frac{1}{8} \\ \frac{1}{14} & \frac{9}{112} \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$0 (\frac{9}{112}) - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $0$ par $\frac{9}{112}$ .

$0 - \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{14} \cdot \frac{1}{8}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{1}{14}$ .

$0 - \frac{1}{8 \cdot 14}$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $8$ par $14$ .

$0 - \frac{1}{112}$

Étape 2.2.2

Soustrayez $\frac{1}{112}$ de $0$ .

$- \frac{1}{112}$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- \frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Étape 5

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\frac{1}{112}} [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \cdot 112) [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Étape 7

Multipliez $- (1 \cdot 112)$ .

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Étape 7.1

Multipliez $112$ par $1$ .

$- 1 \cdot 112 [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $112$ .

$- 112 [\begin{array}{c} \frac{9}{112} & - \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{14} & 0 \end{array}]$

Étape 8

Multipliez $- 112$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - 112 (\frac{9}{112}) & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun de $112$ .

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Étape 9.1.1

Factorisez $112$ à partir de $- 112$ .

$[\begin{array}{c} 112 (- 1) \frac{9}{112} & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} 112 \cdot - 1 \frac{9}{112} & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.1.3

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot 9 & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & - 112 (- \frac{1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 9.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{8}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - 9 & - 112 (\frac{- 1}{8}) \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.3.2

Factorisez $8$ à partir de $- 112$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 (- 14) \frac{- 1}{8} \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.3.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - 9 & 8 \cdot - 14 \frac{- 1}{8} \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.3.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 9 & - 14 \cdot - 1 \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.4

Multipliez $- 14$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 112 (- \frac{1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 9.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{14}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 112 (\frac{- 1}{14}) & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.5.2

Factorisez $14$ à partir de $- 112$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 14 (- 8) \frac{- 1}{14} & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.5.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 14 \cdot - 8 \frac{- 1}{14} & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.5.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ - 8 \cdot - 1 & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.6

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 8 & - 112 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 9.7

Multipliez $- 112$ par $0$ .

$[\begin{array}{c} - 9 & 14 \\ 8 & 0 \end{array}]$